N. H. Shimadaのブログ

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現象を記述する微分方程式

2017年駒場祭
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目次

流体の織りなす渦の数理

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非圧縮流体の条件
\begin{equation}
\nabla \cdot \vec{u} (\bf{x}) = 0
\end{equation}
速度場$\vec{u} (\bf{x})$を${\bf x} = {\bf 0}$周りでTaylor展開すると、
\begin{equation}
\vec{u} ({\bf x}) = \vec{u} ({\bf0}) + M_u \left( \begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array} \right) + O(x^2)
\end{equation}

\begin{equation}
M_u \equiv \left( \begin{array}{ccc}
\frac{\partial{u_1}}{\partial{x_1}} & \frac{\partial{u_1}}{\partial{x_2}} & \frac{\partial{u_1}}{\partial{x_3}} \\
\frac{\partial{u_2}}{\partial{x_1}} & \frac{\partial{u_2}}{\partial{x_2}} & \frac{\partial{u_2}}{\partial{x_3}} \\
\frac{\partial{u_3}}{\partial{x_1}} & \frac{\partial{u_3}}{\partial{x_2}} & \frac{\partial{u_3}}{\partial{x_3}}
\end{array} \right)
\end{equation}
$\vec{u} ({\bf x})$のdivは、
\begin{equation}
\nabla \cdot \vec{u} (\bf{x}) \simeq
\end{equation}
これが0になるという条件から、行列$M_u$に対して
\begin{equation}
\mathrm{Tr} M_u = 0
\end{equation}
が導かれる。ここで行列$M_u$を対称行列$S_u$と反対称行列$\Omega_u$に分解し、それぞれについて考えてみる。
\begin{eqnarray}
M_u = S_u + \Omega_u
\end{eqnarray} $S_u$と$\Omega_u$は、
\begin{eqnarray}
S_u \equiv \frac{1}{2} (M_u + M_u^\mathrm{T}) \\
\Omega_u \equiv \frac{1}{2} (M_u - M_u^\mathrm{T})
\end{eqnarray}

$M_u \left( \begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array} \right)$が流れを... ???

・$S_u$について
$S_u$の固有値を$\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3$とすると、$\mathrm{Tr} M_u = 0$より、
\begin{eqnarray}
0 &=& \mathrm{Tr} M_u \\
&=& \mathrm{Tr} (M_u X X^\mathrm{T}) \\
&=& \mathrm{Tr} (X M_u X^\mathrm{T}) \\
&=& \mathrm{Tr} \left( \begin{array}{ccc} \lambda_1 & 0 &0 \\ 0 & \lambda_2 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda_3 \end{array} \right) \\
&=& \lambda_1+\lambda_2 + \lambda_3
\end{eqnarray} となる。これを満たす$\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3$は、次の3つの場合に分けられる。
(1) $\lambda_1 \leq \lambda_2 < 0 < \lambda_3$
(2) $\lambda_1 \geq \lambda_2 > 0 > \lambda3$
(3) $\lambda_1 + \lambda_2 = 0, \lambda_3 = 0$
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・$\Omega_u$について
反対称行列なので次のように定数$a,b,c$を用いて表現できる。
\begin{equation}
\Omega_u \equiv \left( \begin{array}{ccc} 0 & -c & b \\ c & 0 & -a \\ -b & a & 0 \end{array} \right)
\end{equation} 次のように3つに分解出来る。
\begin{eqnarray}
\Omega_u \left( \begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array} \right) =
a \left( \begin{array}{c} 0 \\ -x_3 \\ x_2 \end{array} \right) +
b \left( \begin{array}{c} x_3 \\ 0 \\ -x_1 \end{array} \right) +
c \left( \begin{array}{c} -x_2 \\ x_1 \\ 0 \end{array} \right)
\end{eqnarray}
それぞれ座標軸に対する回転を表わす。

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係数$a,b,c$は
\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{r@{\,}r@{\,}r@{\,}r}
a = \frac{1}{2} (\frac{\partial x_2}{\partial x_3} - \frac{\partial x_3}{\partial x_2}) \\
b = \frac{1}{2} (\frac{\partial x_3}{\partial x_1} - \frac{\partial x_1}{\partial x_3})\\
c = \frac{1}{2} (\frac{\partial x_1}{\partial x_2} - \frac{\partial x_2}{\partial x_1})
\end{array} \right. \end{eqnarray}
のようになる。$a,b,c$は次のような流れ場のrotである、渦度場$\vec\omega$の要素と等しい。
\begin{eqnarray}
\vec{\omega} = \left( \begin{array}{c} \omega_1 \\ \omega_2 \\ \omega_3 \end{array} \right)
\equiv \left( \begin{array}{c} \frac{\partial x_2}{\partial x_3} - \frac{\partial x_3}{\partial x_2}
\\ \frac{\partial x_3}{\partial x_1} - \frac{\partial x_1}{\partial x_3}
\\ \frac{\partial x_1}{\partial x_2} - \frac{\partial x_2}{\partial x_1} \end{array} \right)
= \nabla \times \vec{u}
\end{eqnarray}
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自然現象を記述する微分方程式

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海と味噌汁:六角パターン。表面は冷めて下へ、下からは暖かいのが上に向かう。対流が生まれて六角形のもやもやパターンが形成。流体の教科書には必ず出てくる典型的な現象であるが、実験的に再現するのは非常に難しい...らしい。
:枝と木全体は同じような形、つまりフラクタル構造
砂漠:風によって平らになりそう...実際にはパターンが出来ている。山谷とかの大きな地形も作られる。
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チューリングは生涯で1度だけ生物学の論文を出している。死ぬ二年前。同時は注目されず
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イカの神経細胞を抜き出してきて電気流して反応見ている。イカのは人間のより100倍太いとか、今でもこの分野ではイカを用いるらしい
イカの人工飼育は難しい。産総研の人が成功させた。アンモニアの濃度を低くしてやるといけることを発見。
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波形が移動していく。生物なので安定して伝わっていくはず。安定して空間を伝わるといえば波動方程式(双極型方程式)の解だと思われていた。実は放物型、拡散方程式。拡散は全体が均一に平衡状態へと向かうので、衝撃的な事実だった。
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Belousovさん 1951年、マロン酸?とかで周期的に色変わるような化学反応見つけた。当時は平衡状態へと落ちるものだと思っていたので受け入れられず、ありえないと思われた。レフェリーのコメントがひどすぎる。
Zhabotinskyさん 1968年、追実験したよ。下のspiral patternも見つけた。
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ちゃんと式立てると未知変数30個の微分方程式、これを2個の簡単なものにしたやつ。
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縞パターンを微分方程式で表したい。稚魚→成魚と成長する時、相似拡大ではなく縞幅は変わらない。初めて生物でチューリングパターンを示した。
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イワメとヤマメ。北海道の一部で、2つの生息領域が近いところが。交配種が出来て、中間のラビリンス模様だった。
DNA(700MB)には全情報が入っているのではなく、拡散方程式のパラメータのように小数のパラメータが組み込まれているのではないか...
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拡散項のみ:熱拡散で一様になる
反応項のみ:常微分方程式の形、解はexp(Ct)の形とか、発散していく
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実線は活性化因子、極大点に頭出来る。
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ホットスポット予想。必ず端っこに現れる。不思議。ヒドラの頭問題と似てる...?
今でも未解決問題らしい。
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社会現象を記述する微分方程式

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